初三数学奥林匹克竞赛题（高一奥林匹克数学竞赛真题）
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初中数学竞赛题04
一、选择题(每小题7分，共42分)
1.如果a、b、c是三个任意的整数，那么， 、 、 中( ).
(A)都不是整数 (B)至少有一个整数 (C)都是整数 (D)至少有两个整数
2.如图，E、F分别是长方形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG、△DCH的面积分别为15、20.则图中阴影部分的面积为( ).
(A)15 (B)20 (C)35 (D)40
3.能判定四边形ABCD是菱形的条件是( ).
(A)对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD
(B)对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C
(C)对角线AC平分对角线BD，且平分∠A、∠C
(D)对角线AC平分∠A、∠C，且∠A=∠C
4.当x-y=1时，x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4的值为( ).
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
5.设b取1到11之间的偶数，c取任意6.甲、乙、丙、丁四人做相互传球游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了4次.则第四次仍传回到甲的概率是( ).
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题7分，共28分)
1.已知a+b+c=0，abc.则c／a的取值范围是 .
2.计算:
= .
3.如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作面积各为S1、S2、S3的半圆、正方形和正三角形，则显然有S1=S2+S3. 分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个面积各为S1、S2、S3的任意三角形，且S1=S2+S3.类比以上结论，则这三个三角形满足的一个条件是
.
4.5支足球队进行循环比赛(每两支球队都赛一场)，已知甲队已赛3场，乙队比甲队赛的场数多，丙队比甲队赛的场数少，丁队与戊队赛的场数一样多，但丁队与戊队没赛过.那么，总比赛场数是 .
第二试
一、(20分)已知t是一元二次方程x2-x-1=0的一个根.对任意的有理数a，有理数b、c满足(at+1)(bt+c)=1.
(1)求b和c(用a的代数式表示);
(2)是否存在这样的有理数a，使得b或c中至少有一个等于 ?若存在，求出这样的a值;若不存在，说明理由.
二、(25分)团体购买某公园门票，票价如表1:
购票人数 1～50 51～100 100以上
每人门票价 13元 11元 9元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1 314元;若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1 008元.问这两个旅游团各有多少人?
三、(25分)如图3，△ABC被三条共点直线AD、BE、CF分成六个小三角形.若△BPF、△CPD、△APE的面积均为1，求△APF、△DPB、△EPC的面积.
国际数学奥林匹克竞赛试题一般分为几何、代数、数论、组合四大类，但是所有题目均不超出公认的中等数学范围。IMO的试题难度较大，考察灵活，解答这些题目需要赋予创造性的思考，对参赛选手的智力和抗压能力都有较大的考验。
啧啧，听天由命吧，没有平时的积累基本考不到好成绩。一晚上没多少机会的。好好休息吧，尽力就好。
你先要通过预赛，获得复赛参赛权，就可以到省会城市参加复赛。
复赛按比例分配一二三等奖（当然也有没奖的），这就是省级奖。
必须考到一等奖前几名（也就是全省前几名）才可以进入省队，参加数学竞赛冬令营。冬令营就是全国决赛，也包括国家队选拔。冬令营才有国家级奖项，人人都有，一二三等奖对应金银铜牌。
全国金牌中一部分会留下来参加国家队培训，之后经由选拔组成国家队，参加国际数学奥林匹克竞赛（IMO），这是最高级别的数学竞赛。
2006年全国初中数学联合竞赛试卷（辽宁）
第一试
（4月9日 上午 8:30-9:30）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K = SS1，K1 = PP1 ，则下面关于K、K1的说法正确的是 （ ）．
A.K、K1均为常值 B.K为常值，K1不为常值
C.K不为常值,K1为常值 D.K、K1均不为常值
2.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x2 –mx + 1 = 0的两根，则sin4α+ cos4α的值为 （ ）．
A.29 B. 13 C. 79 D.1
3.关于x的方程|x2x–1 |= a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是 （ ）．
A.a 0 B.a ≥4 C.2 a 4 D.0 a 4
4.设b0，a2 -2ab + c2 = 0，bc a2，则实数a、b、c的大小关系是 （ ）．
A.b c a B.c a b C.a b c D.b a c
5.设a、b为有理数，且满足等式a + b3 =6 ⋅1 + 4 + 23 ，则a + b的值为
（ ）．
A.2 B.4 C.6 D.8
6.将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，……，则这列数中的第158个数为 （ ）．
A.2000 B.2004 C.2008 D.2012
二、填空题（本题满分28分,每小题7分）
1.函数y = x2 -2006|x|+ 2008的图象与x轴交点的横坐标之和等于__________．
2.在等腰Rt△ABC中，AC = BC =1， M是BC的中点， CE⊥AM于E交AB于F，则S⊿MBF = __________.
3.使x2 + 4 + (8 - x)2 + 16 取最小值的实数x的值为__________.
4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(100,0)，B(100,100)，C(0,100)．若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足： S⊿POA ⋅ S⊿PBC = S⊿PAB⋅S⊿POC ，就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为__________.
（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）
2006年全国初中数学联合竞赛试卷(辽宁）
第二试
(4月9日 上午 10:00-11:30)
一、(本题满分20分)
已知关于x的一元二次方程x2 +2(a + 2b + 3)x+(a2 + 4b2 + 99)= 0无相异两实根，则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组？
二、(本题满分25分)
如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线
上的点．又已知∠EDF = 90°，ED = DF = 1，AD = 5．求线段BC的长．
三、(本题满分25分)
在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长
线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心． (1)求证：
O、E、O1三点共线； (2)求证：若∠ABC = 70°，求∠OBD的
度数．
参考答案：
选择题：BCDABC
填空题：1. 0 2. 112 3. 38 4. 197
解答题：1. 16 2. 107 3. (1) 证明相似三角形的对应角相等；（2）35°.
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