仿射密码的解密密钥计算：让密码变“衣服柜”！

嘿，老铁，今天咱们扯一扯那神秘又“逗比”的密码界里面的明星——仿射密码。别以为它长得斯文，其实它搞定密码的招数比电视剧里的武打还花哨。尤其是“解密密钥”的算出，简直比排拼多多优惠券还烧脑。准备好了吗？咱们就从“密钥”这道到目前为止最“火锅底料”问题开始。

先打个比方：仿射密码就像那种带变形的“变形金刚”，它躲在字母的阴影里，靠一套“变身公式”把字母偷偷变成密码。它的核心思想是：把字母（A到Z）看成数字（0到25），然后用线性函数 f(x) = (ax + b) mod 26 来变换。

其中，a 和 b 就是它的秘密武器——“密钥”。如果你知道这两个数字，轻轻一点（用数学公式“解密”）就能把密码“还原”回原来的样子。这就像破解那隐藏的宝箱钥匙一样，找到“那些数字”才能打开“密码大门”。

## 解密密钥的重点：找到a的“逆”和b

解密就像倒带录像，要还原出原始内容。既然加密用的是 f(x) = (ax + b) mod 26，那逆过程就是找到一个“逆函数”f^(-1)(x)，它能把密码还原成原字母。这就要用到“逆元”这个神秘词。

### 计算逆元：a的“敌人”是谁？

什么是逆元？简单说，就是找到一个数字 a_inv（a的逆元），满足关系：a * a_inv ≡ 1 ( mod 26)。什么意思？就是 a 和 a_inv 乘起来，除以26余数是1。这就像你用瓜子和瓜子皮把密码“还原”，瓜子皮（a_inv）必须是“你瓜子”的“逆”！

不过，有个坑！只有当a与26互质，也就是说 gcd(a, 26) = 1 时，逆元才存在。比如，a=3，它的逆元就是 9 因为 3*9=27，27%26=1；但是如果 a=13，那就废了，因为13和26不是互质的。

### 计算逆元的工具：欧几里得算法

脑袋秀逗的人可以用“扩展欧几里得算法”帮你找到逆元。这一招可是解密界的“奥术秘笈”。用它一算，确保a的逆元一秒出炉。

### 连接a和b：解密公式也要“会心一笑”

解密公式：x = a_inv * (y - b) mod 26

这里 y 是密码中字母对应的数字，x就是原来的数字。你只要知道a_inv、b，就能把密码轻松翻译成密码背后的“真相”。

## 如何计算“密钥”中的a和b？

这就像调制“密码鸡尾酒”——你得有两份“调料”——a和b，才能调出真正的味道。当你得到一对“密钥”数字后（比如a=7，b=3），需要验证它们的“配合度”——是不是满足加密变换的规则。

### 从已知密文和明文逆推密钥

这也是用户最喜欢的“侦探剧情”。

假设你知道一句明文，比如“HELLO”，对应数字是7 4 11 11 14（A=0, B=1……），以及对应的密文，比如“ZEBBW”，数字对应25 4 1 1 22。

你可以用两组字母的对应关系，列出两个方程：

1. 7a + b ≡ 25 (mod 26)

2. 4a + b ≡ 4 (mod 26)

然后，解这两个方程，找到a和b。简单点说，就是用减法消掉b，得到a，然后带回去算b。

### 示例：用代数解“密钥”

（7a + b) - (4a + b) ≡ (25 - 4) (mod 26)，即3a ≡ 21 (mod 26)

再用扩展欧几里得算法找a的逆元，将a=3带进去，得到a=7（因为3*7=21，21%26=21）。确认无误后，再带回第一个方程算b。

你看，数学一出手，密码的门就开了！这就像“破案”一样，深藏不露的密钥也能水落石出。

## 逆推“解密钥”的几个实用贴士

- **多找几个明密文对照组**：越多越好，强迫症看你表演。

- **记住识字规则**：A对应0，B对应1，到Z对应25，不然容易绕晕。

- **用计算器帮忙**：欧几里得扩展算法可以用程序辅助，不用手绞。

- **注意a必须与26互质**：否则解不出来，别让自己“坑”在这了。

## 你还在想啥？快去试试自个儿“破译”一段密码，然后带着“自信满满”的感觉逮虾户吧！如果你觉得逆推太麻烦，不妨去玩玩“七评赏金榜”上的小游戏，边玩边学，顺便赚点零花钱（网站地址：bbs.77.ink）！

仿射密码的解密密钥依赖于理解“逆元”与“线性方程组”，搞清这两点后，密码就不是那么高深莫测了。快去试试用自己的“数学脑筋”破解一段密码吧，说不定会发现一个“隐藏的宝藏”哦！