希尔密码例题（希尔密码例题计算）
希尔密码例题（希尔密码例题计算）
公钥密码又称为双钥密码和非对称密码，是1976年由Daffy和Hellman在其“密码学新方向”一文中提出的，见划时代的文献：
W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976, PP.644-654
单向陷门函数是满足下列条件的函数f：
(1)给定x，计算y=f(x)是容易的；
(2)给定y, 计算x使y=f(x)是困难的。
(所谓计算x=f-1(Y)困难是指计算上相当复杂，已无实际意义。)
(3)存在δ，已知δ 时,对给定的任何y，若相应的x存在，则计算x使y=f(x)是容易的。
注：1*. 仅满足(1)、(2)两条的称为单向函数；第(3)条称为陷门性，δ 称为陷门信息。
2*. 当用陷门函数f作为加密函数时，可将f公开，这相当于公开加密密钥。此时加密密钥便称为公开钥，记为Pk。 f函数的设计者将δ 保密，用作解密密钥，此时δ 称为秘密钥匙，记为Sk。由于加密函数时公开的，任何人都可以将信息x加密成y=f(x)，然后送给函数的设计者（当然可以通过不安全信道传送）；由于设计者拥有Sk，他自然可以解出x=f-1(y)。
3*.单向陷门函数的第(2)条性质表明窃听者由截获的密文y=f(x)推测x是不可行的。
Diffie和Hellman在其里程碑意义的文章中，虽然给出了密码的思想，但是没有给出真正意义上的公钥密码实例，也既没能找出一个真正带陷门的单向函数。然而，他们给出单向函数的实例，并且基于此提出Diffie-Hellman密钥交换算法。这个算法是基于有限域中计算离散对数的困难性问题之上的：设F为有限域，g∈ F是F的乘法群F*=F\{0}=g。并且对任意正整数x，计算gx是容易的；但是已知g和y求x使y= gx，是计算上几乎不可能的。这已问题称为有限域F上的离散对数问题。公钥密码学种使用最广泛的有限域为素域FP.
对Diffie-Hellman密钥交换协议描述：Alice和Bob协商好一个大素数p，和大的整数g，1gp，g最好是FP中的本原元，即FP*＝g。p和g无须保密，可为网络上的所有用户共享。
当Alice和Bob要进行保密通信时，他们可以按如下步骤来做：
(1)Alice送取大的随机数x，并计算
X=gx(mod P)
(2)Bob选取大的随机数x，并计算X = gx (mod P)
(3)Alice将X传送给Bob；Bob将X 传送给Alice。
(4)Alice计算K=(X )X(mod P);Bob计算K ＝（X) X (mod P),易见，K=K =g xx (mod P)。
由(4)知，Alice和Bob已获得了相同的秘密值K。双方以K作为加解密钥以传统对称密钥算法进行保密通信。
注：Diffie-Hellman密钥交换算法拥有美国和加拿大的专利。
3 RSA公钥算法
RSA公钥算法是由Rivest,Shamir和Adleman在1978年提出来的（见Communitions of the ACM. Vol.21.No.2. Feb. 1978, PP.120-126)该算法的数学基础是初等数论中的Euler（欧拉)定理，并建立在大整数因子的困难性之上。
将Z/(n）表示为 Zn，其中n=pq; p,q为素数且相异。若
Z*n{g∈ Zn|(g,n)=1}，易见Z*n为 (n)阶的乘法群，且有 g (n)1(mod n)，而 (n)=(p-1)(q-1).
RSA密码体制描述如下：
首先，明文空间P＝密文空间C=Zn.(见P175).
A.密钥的生成
选择p,q，p,q为互异素数，计算n=p*q, (n)=(p-1)(q-1), 选择整数e使( (n),e)=1,1e (n)),计算d,使d=e-1(mod (n))),公钥Pk={e,n};私钥Sk={d,p,q}。
注意，当0Mn时,M (n) =1(mod n)自然有：
MK (n)+1M(mod n), 而ed 1 (mod (n)),易见(Me)d M(mod n)
B.加密 (用e,n)明文：Mn 密文：C=Me(mod n).
C.解密 (用d,p,q)
密文：C 明文：M=Cd（mod n)
注：1*, 加密和解密时一对逆运算。
2*, 对于0Mn时，若(M,n) ≠ 1，则M为p或q的整数倍，假设M=cp，由(cp,q)=1 有 M (q) 1(mod q) M (q) (p) 1(mod q)
有M (q) = 1+kq 对其两边同乘M=cp有
有M (q)＋1=M+kcpq=M+kcn于是
有M (q)＋1 M(mod n)
例子：若Bob选择了p=101和q＝113，那么，n=11413, (n)=100×112＝11200；然而11200＝26×52×7，一个正整数e能用作加密指数，当且仅当e不能被2，5，7所整除（事实上，Bob不会分解φ(n)，而且用辗转相除法（欧式算法）来求得e，使（e, φ(n)=1)。假设Bob选择了e=3533，那么用辗转相除法将求得：
d=e -1 6597(mod 11200), 于是Bob的解密密钥d=6597.
Bob在一个目录中公开n=11413和e=3533, 现假设Alice想发送明文9726给Bob，她计算：
97263533(mod 11413)=5761
且在一个信道上发送密文5761。当Bob接收到密文5761时，他用他的秘密解密指数（私钥）d＝6597进行解密：57616597（mod 11413)=9726
注：RSA的安全性是基于加密函数ek(x)=xe(mod n)是一个单向函数，所以对的人来说求逆计算不可行。而Bob能解密的陷门是分解n=pq，知 (n)=(p-1)(q-1)。从而用欧氏算法解出解密私钥d.
4 RSA密码体制的实现
实现的步骤如下：Bob为实现者
(1)Bob寻找出两个大素数p和q
(2)Bob计算出n=pq和 (n)=(p-1)(q-1).
(3)Bob选择一个随机数e(0e (n))，满足（e， (n)）＝1
(4)Bob使用辗转相除法计算d=e-1(mod (n))
(5)Bob在目录中公开n和e作为她的公开钥。
密码分析者攻击RSA体制的关键点在于如何分解n。若分
解成功使n=pq，则可以算出φ(n)＝（p-1)(q-1)，然后由公
开的e，解出秘密的d。（猜想：攻破RSA与分解n是多项式
等价的。然而，这个猜想至今没有给出可信的证明！！！）
于是要求：若使RSA安全，p与q必为足够大的素数，使
分析者没有办法在多项式时间内将n分解出来。建议选择
p和q大约是100位的十进制素数。 模n的长度要求至少是
512比特。EDI攻击标准使用的RSA算法中规定n的长度为
512至1024比特位之间，但必须是128的倍数。国际数字
签名标准ISO/IEC 9796中规定n的长度位512比特位。
为了抵抗现有的整数分解算法，对RSA模n的素因子
p和q还有如下要求：
(1)|p-q|很大，通常 p和q的长度相同；
(2)p-1 和q-1分别含有大素因子p1和q1
(3)P1-1和q1-1分别含有大素因子p2和q2
(4)p+1和q+1分别含有大素因子p3和q3
为了提高加密速度，通常取e为特定的小整数，如EDI国际标准中规定 e＝216＋1，ISO/IEC9796中甚至允许取e＝3。这时加密速度一般比解密速度快10倍以上。 下面研究加解密算术运算，这个运算主要是模n的求幂运算。著名的“平方-和-乘法”方法将计算xc(mod n)的模乘法的数目缩小到至多为2l，这里的l是指数c的二进制表示比特数。若设n以二进制形式表示有k比特，即k=[log2n]+1。 由l≤ k，这样xc(mod n)能在o(k3)时间内完成。（注意，不难看到，乘法能在o(k2)时间内完成。）
平方－和－乘法算法：
指数c以二进制形式表示为：
c=
Xc=xc0×（x2)c1×…×(x2t-1)ct-1
预计算： x2=xx
x4=x22=x2x2
.
.
.
x2t-1 =x2t-2*x2t-2
Xc计算：把那些ci=1对应的x2i全部乘在一起，便得xc。至
多用了t-1次乘法。请参考书上的177页，给出计算
xc(mod n)算法程序：
A=xc c=c0+c12+..+ct-12t-1= [ct-1,....,c1,c0]2
5 RSA签名方案
签名的基本概念
传统签名（手写签名）的特征：
（1）一个签名是被签文件的物理部分；
（2）验证物理部分进行比较而达到确认的目的。(易伪造)
（3）不容易忠实地“copy”!!!
定义： (数字签名方案）一个签名方案是有签署算法与验
证算法两部分构成。可由五元关系组（P,A,K,S,V）来刻化：
(1)P是由一切可能消息(messages)所构成的有限集合；
(2)A是一切可能的签名的有限集合；
(3)k为有限密钥空间，是一些可能密钥的有限集合；
(4)任意k ∈K，有签署算法Sigk ∈ S且有对应的验证算法Verk∈V,对每一个
Sigk:p A 和Verk:P×A {真，假} 满足条件：任意x∈ P,y∈ A.有签名方案的一个签名：Ver(x,y)= ｛
注：1*.任意k∈K, 函数Sigk和Verk都为多项式时间函数。
2*.Verk为公开的函数，而Sigk为秘密函数。
3*.如果坏人（如Oscar)要伪造Bob的对X的签名，在计算上是不可能的。也即,给定x，仅有Bob能计算出签名y使得Verk(x,y)＝真。
4*.一个签名方案不能是无条件安全的，有足够的时间，Oscar总能伪造Bob的签名。
RSA签名：n=pq,P=A=Zn,定义密钥集合K={(n,e,p,q,d)}|n=pq,d*e1(mod (n))}
注意：n和e为公钥；p,q,d为保密的（私钥）。对x∈P, Bob要对x签名，取k∈K。Sigk(x) xd(mod n)y(mod n)
于是
Verk(x,y)=真 xye(mod n)
（注意：e,n公开；可公开验证签名(x,y)对错！！也即是否为Bob的签署）
注：1*.任何一个人都可对某一个签署y计算x=ek(y)，来伪造Bob对随机消息x的签名。
2*.签名消息的加密传递问题：假设Alice想把签了名的消息加密送给Bob，她按下述方式进行：对明文x，Alice计算对x的签名，y=SigAlice(x)，然后用Bob的公开加密函数eBob,算出
Z=eBob(x,y) ,Alice 将Z传给Bob，Bob收到Z后，第一步解密，
dBob(Z)=dBobeBob(x,y)=(x,y)
然后检验
VerAlice(x,y)= 真
问题：若Alice首先对消息x进行加密，然后再签名，结果
如何呢？Y=SigAlice(eBob(x))
Alice 将（z,y)传给Bob，Bob先将z解密，获取x;然后用
VerAlice检验关于x的加密签名y。这个方法的一个潜在问
题是，如果Oscar获得了这对（z,y)，他能用自己的签名来
替代Alice的签名
y=SigOscar(eBob(x))
(注意：Oscar能签名密文eBob(x)，甚至他不知明文x也能做。Oscar传送（z,y )给Bob,Bob可能推断明文x来自Oscar。所以，至今人么还是推荐先签名后加密。）
6.EIGamal方案
EIGamal公钥密码体制是基于离散对数问题的。设P
至少是150位的十进制素数，p-1有大素因子。Zp为有限域，
若α为Zp中的本原元，有Zp* ＝α。若取β∈Zp*=Zp\{0}，
如何算得一个唯一得整数a,（要求，0≤a≤ p-2)，满足
αa=β(mod p)
将a记为a=logαβ
一般来说，求解a在计算上是难处理的。
Zp*中的Egamal公钥体制的描述：设明文空间为P=Zp*,密文空
间为C=Zp*×Zp*,定义密钥空间K={(p, α,a, β )|β=αa(mod p)}
公开钥为：p, α ,β
秘密钥（私钥）：a
Alice 取一个秘密随机数k∈ Zp-1，对明文x加密
ek(x,k)=(y1,y2)
其中， y1=αk(mod p),y2=xβk(mod p)
Bob解密，
dk(y1,y2)=y2(y1α)-1(mod p)
注：1*.容易验证y2(y1α)-1=x(αa)k(αka)-1=x !!
2*.利用EIGamal加密算法可给出基于此的签名方案：
Alice 要对明文x进行签名，她首先取一个秘密随机数k作
为签名
Sigk(x,k)=( , )
其中 ＝αk(mod p), =(x-a )k-1(mod p-1)
对x, ∈Zp*和 ∈ Zp-1，定义Verk(x, ,)＝真等价于
βα＝αx(mod p)
要说明的是，如果正确地构造了这个签名，那么验证将
是成功的，因为
βα＝ αa αk (mod p)= αa+k (mod p)
由上面知道， ＝（x- a)k-1(mod p-1)可以推出
k=x- a(mod p-1)有a+kx(mod p)
所以 β ＝ αx (mod p)
该签名方案已经被美国NIST(国家标准技术研究所）确定为签名标准（1985）。
有关RSA方面的内容，请访问网址：
问题2的答案
CAESAR体制;双字的Playfair体制;维吉尼亚体制;Hill体制
具体：
1、CAESAR体制 CAESAR 体制是一种单表加性密码体制，其明文字母表、密文字母表和密钥字母表相同，比如英文字母表。加密步可由如下简单的式子表示：y=x+k，其中x∈X， y∈Y，k∈K。最简单的一种就是第一个明文字母由其右边的第三个字母代替，由D代替，B由E代替，…，Y，由B代替，Z由C代替。广义的CAESAR体制引入两个密钥参数，加密步变为y=k1x+k2，其中x∈X，y∈Y，k1,k2∈K。
2、双字的Playfair体制 1854 年，查尔斯.惠斯通（Charles Wheatstone）发明了一种特殊的双叶双码代替密码，他的朋友莱昂.普莱弗尔（Lyon Playfair）将其推荐给政府和军界的高层人士。这种体制的首次使用是在克里米亚战争期间，正式报道的使用是在Boer战争中，其名称也就以 Playfair命名。军队很看重它的一点就是此方法既不需要表也不需要器械，易作为战地密码。英国军队差不多用了一个世纪，而且保证它一直是保密的。然而在一次世界大战中的1915年，德国人将其破译了。
PLAYFAIR加密步按如下方式进行：由一个口令字开始，将一个Z25上的置换表（省去了Z26中的Z）排成5×5方阵。
P A L M E
R S T O N
B C D F G
H I K Q U
V W X Y Z
或
T O M R S
D F G B C
K Q U H I
X Y Z V W
L M E P A
加密步没有定义双字母是同一字母的情况，还有最后一个字母不成对的情况。上述两个例子的结果是相同的。如果一个双字母的两个字母在同一行（或一列），则它们就用其右边（相应地，底下）的字母所代替，比如：am→LE ，dl→KT。
另一种情况是，两个字母不在同一行或同一列，则第一个字母由同一行中且在第二个字母的那一列的字母代替；第二个字母则由同一行中，且是第一个字母所在那一列的字母所代替，比如：ag→EC ，ho→QR。
3、维吉尼亚体制
维吉尼亚体制是最古老而且最著名的多表密码体制之一，它以法国密码学家Blaise de Vigenere(1523--1596)命名。与CAESAR密码体制相似，其密钥是逐步变化的。一般是用维吉尼亚方阵来进行加密和解密的。每列都可以看成是一个CAESAR体制，其中密钥是0、1、2...25。加密时，将在方阵中查找明文字母所在的行及CAESAR体制密钥所在的列，来确定密文字符。通常CAESAR体制的密钥用密钥字来表示。比如，用KEYSTREAM来加密TWOPERSONS，首先在方阵中查找第T行第K列的字母，则得到T 对应的密文字母D，以此类推。解密时，则查找D在K列的行位置。通常密钥字要重复使用，特别是对较长的明文。
加密方阵作为多表体制的基础，它具有多样性，即可选择其它容易记忆的方阵。这里值得一提的就是Beaufort方阵，它的行是维吉尼亚方阵行的逆序。
4、Hill体制 在Hill 密码体制中，明文空间和密文空间是相同的，比如英文字母集。首先对字母集中的字母进行编号，比如A为0号，B为1号，Z为25号，后面所有的运算都要模 26。然后选择一个可逆的d维方阵M，其元素是介于0和25之间的整数。加密过程为MP=C，当然这里的P和C都是d维列向量。更确切地说，每个d元明文字符定义了列向量P，分量是d元明文字符的编号。计算得到的列向量C再被译为d元密文字符。
尽管希尔密码体制看起来几乎没有实用价值，但它对密码学的发展却产生了深刻的影响。希尔发明的重要性在于它无可辩驳地表明：数学方法在密码学中的地位是不容置疑的。随后在30年代，大批数学家投身于密码学研究。
尽管古典密码体制受到当时历史条件的限制，没有涉及到非常高深或者复杂的理论，但在其慢长的发展演化过程中，已经充分表现出了现代密码学的两大基本思想-代替和换位，而且还将数学的方法引入到密码分析和研究中。这为后来密码学成为系统的学科以及相关学科的发展奠定了坚实的基础，如计算机科学、复杂性理论等等。
人生究竟有什么密码？
人生有许多选择，选择中注定了你的命运。其中最常见的重要是选择是：职业、朋友和伴侣，这些是现实的选择，其机遇性和重要性显而易见。还有一些选择，如道德标准、思维观念、生活态度等，这些是非现实的选择，其机遇性和重要性比较隐蔽，但这些却在把握机遇的时候更为重要。
在英国，曾经发生过这么一个真实故事：
有位孤独的老人，无儿无女，又体弱多病。最后，老人宣布出售他漂亮的住宅，自己搬到养老院去。购买者闻讯蜂拥而至。住宅底价是8万英镑，但人们很快就将它炒到了10万英镑。价钱还在不断攀升。
老人深陷在沙发里，满目忧郁，是的，要不是健康的原因，他是绝不会卖掉这栋陪他度过大半生的住宅的。就在这个时候，一个衣着朴素的青年，来到老人跟前，弯下腰，低声说：“先生，我也好想买这栋住宅，可我只有1万英镑。可是……如果您把住宅卖给我，我保证会让您依旧生活在这里，和我一起喝茶，读报，散步，天天都快快乐乐的……相信我，我会用整个心来照顾您的！”
老人颔首微笑，最终以1万英镑的价钱卖给了这个青年。
上帝给所有人的选择，都不是间歇性的，而是连贯性的。您时刻都能够面临选择，只要您愿意。您现在就可以检讨您的过去，看哪些是错误的选择，哪些是应该忏悔的。哪些应该抛弃，哪些应该汲取。
选择中体现出每个人眼光的高远与短浅；反映出每个人思想的幼稚与成熟，选择的结果决定了每个人事业的成功与平庸、生活的幸福与不幸，从而决定了每个人上演在人生舞台上的角色。
所以，选择能解读人生的密码，但并不是人生密码的本质。
人世间，大凡精彩的演出，表现的都是人物的精、气、神。
“精”是生命的境界，衣食住行都有境界。就拿“吃”来说，要能吃得苦、吃得亏、吃得消。吃得苦才能磨砺意志，陶冶情操，以期苦尽甘来；吃得亏才能扭亏为赢，周圆畅达，换来浩然人气；吃得消才有机会化凶为吉，立于不败之地。
在美国，曾经有一个年轻人，接受了一位全国最富有的人的挑战，答应不要一丁点报酬，为这位富翁工作20年。他的名字叫希尔。
1908年，年轻的希尔去采访钢铁大王卡耐基。卡耐基很欣赏希尔的才华，对他说：“我向你挑战，我要你用20年的时间，专门用在研究美国人的成功哲学上，然后提出一个答案。但除了写介绍信为你引见这些人，我不会对你作出任何经济支持，你肯接受吗？”希尔信任自己的直觉，接受了挑战。在此后的20年里，他遍访美国最富有的500名成功人士，写出了震惊世界的《成功定律》一书，并成为罗斯福总统的顾问。
关于吃亏还是讨便宜，希尔后来回忆说：全国最富有的人要我为他工作20年而不给我一丁点报酬。如果是识时务者，面对这样一个荒谬的建议，肯定会推辞的，可我没这样干。
“吃得亏”，这就是希尔之所以能成功的全部秘密。
有人问一位智者：“请问，怎样才能成功呢？”智者笑笑，递给他一颗花生：“用力捏捏它。”那人用力一捏，花生壳碎了，只留下花生仁。智者说：“再搓搓它。”那人又照着做了，红色的皮被搓掉了，只留下白白的果实。智者又说：“再用手捏它。”那人用力捏着，却怎么也没法把它毁坏。智者叫那人“再用手搓搓它。”当然，什么也搓不下来。
